Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевод чисел из любой системы счислению в десятичную в целом гораздо проще, чем перевод из десятичной любую. Перевод этот основан на полиномиальной записи числа. Чтобы понять, что это такое, вернёмся к разделу «цифры и числа». Там мы рассматривали такую картинку:

Если взять каждую цифру и умножить её на множитель, соответствующий позиции, то получится полиномиальная запись числа:

1*10²+7*10¹+5*⁰+3*^-1=175.3

Фактически мы имеем обычный полином. Значение этого полинома можно посчитать. В данном случае, поскольку мы в полиномиальной форме записали десятичное число - то можно сказать, что мы перевели число из десятичной системы счисления в десятичную - естественно при этом получили само это число.

А теперь самое интересное - эта полиномиальная запись числа может использоваться для перевода из любой системы счисления в десятичную. Фактически, в разделе «цифры и числа» мы выполнили такой перевод несколько раз - если Вы этого не заметили, пересмотрите этот раздел ещё раз и найдите, где был выполнен такой перевод.

Вот ещё один пример перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

4E7F.3F1₁₆= 4*16³ + 14*16² + 7*16¹ + 15*16⁰ + 3*16^-1 + 15*16^-2 + 1*16^-3=
16384 + 3584 + 112 + 15 + 0.1875 + 0.05859375 + 0.000244140625 = 20095.246337890625₁₀

Обратите внимание, что перевод осуществляется в десятичную систему счисления за счёт того, что все операции (возведение в степень, умножение, сложение) выполняются в десятичной системе счисления. Если бы мы с такой же лёгкостью выполняли эти операции в любой другой системе счисления, то этот способ можно было бы использовать для перевода чисел из любой системы счисления в любую другую.

Например, при использовании этого способа для перевода в восьмеричную систему счисления, перевод будет выглядеть так:

4E7F.3F1₁₆= 4*20³ + 16*20² + 7*20¹ + 17*20⁰ + 3*20^-1 + 17*20^-2 + 1*20^-3=
4*10000 + 16*400 + 7*20 + 17 + 3*0.04 + 17*0.002 + 1*0.0001 =
40000 + 7000 + 160 + 17 + 0.14 + 0.036 + 0.0001 = 47177.1761₈

В данном случае все операции выполняются в восьмеричной системе счисления.

Например, 7*20=160₈ (а не привычное нам 140₁₀) - потому что операции выполняются в восьмеричной системе счисления вместо привычной нам десятичной. 20₈ - это те же 16₁₀, которые мы возводили в степень при переводе в десятичную систему счисления. Если перевести все числа в десятичную систему счисления, то это умножение будет выглядеть так: 7*16=112₁₀ - то есть в точности то же самое, что мы имели при переводе этого числа в десятичную систему счисления.

Перевод небольших целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную в уме

Если Вам приходится часто иметь дело с двоичной системой счисления, то было бы полезно научиться быстро в уме переводить хотя бы небольшие целые двоичные числа в десятичную систему счисления.

Научиться этому очень просто, если Вы понимаете, что каждой позиции в двоичном числе соответствует степень двойки. При этом степени двойки для позиций от 0 до 3 запомнить очень просто - это числа 1, 2, 4 и 8:

8

4

2

1

Если в соответствующей позиции в двоичном числе записана 1, то эту степень двойки нужно прибавить к результату. Если там 0 - то ничего не прибавлять. Например, число 1011₂:

8	4	2	1
1	0	1	1

это сумма чисел 8+2+1=11 (так как единицы стоят в позициях, соответствующих 8, 2 и 1). А число 0110₂

8	4	2	1
0	1	1	0

это сумма чисел 4+2=6₂. Проще всего запомнить число 1111₂

8	4	2	1
1	1	1	1

это сумма всех четырёх чисел: 8+4+2+1=16₂ и число 0000₂

8	4	2	1
0	0	0	0

в котором ничего не надо складывать и поэтому оно равно 0.

Перевод дробных чисел из двоичной системы счисления в десятичную в уме с точностью до 1/4

Также легко можно научиться переводить в уме и небольшие числа с плавающей точкой. Как минимум, легко запомнить, что первый знак после запятой в двоичной системе счисления - это количество половинок, второй знак - это количество четвертинок, а третий знак - это количество восьмых частей. Или ладно, не будем про восьмые части - остановимся на половинках и на четвертинках.

Зная это, можно легко перевести любое число с плавающей точкой с точностью до 0.25₁₀ - а такое умение может Вам пригодиться хотя бы только для того, чтобы хотя бы приблизительно оценить, у Вас вообще правильное число в двоичной системе счисления ли оно вообще очень далеко от правильного результата.

Итак, первая позиция после запятой - это половинки, а вторая позиция после запятой - четвертинки:

Если в двоичном числе в соответствующей позиции стоит единицу, то половинку или четвертинку нужно прибавить к числу. Если ноль - не прибавлять. Дальше можно перечислить все возможные варианты.

0.00₂=0₁₀ (так как ничего не нужно прибавлять):

0.01₂= одна четвертинка =0.25₁₀:

0.10₂= одна половинка =0.5₁₀:

0.11₂= одна половинка и одна четвертинка =0.75₁₀:

Последняя модификация: 28.02.09 17:04

Не проходите мимо! Оставьте Ваш комментарий в форуме! >>>