Частые вопросы

Где используются разные системы счисления?

Всё зависит от конкретной системы счисления.

Десятичная система счисления - очевидно, используется практически повсеместно.

Римская система счисления в современном мире используется чаще всего, когда хотят указать на номер по порядку. Например, “10” означает количество (десять штук), а римское «Х» означает «десятый».

Двоичная система счисления - наиболее широко используется в компьютерах, так как один разряд двоичного числа соответствует одному биту - минимальной единице информации в компьютерной технике.

Также, двоичную систему счисления традиционно используют при указании линейных размеров в дюймах, например, 7¹⁵/₁₆″, 3¹¹/₃₂″. Самое первое известное использование двоичной системы счисления принадлежит, пожалуй, древнеиндейскому математику Пингале¹ (примерно II-V века до н.э.).

Шестнадцатеричная система счисления широко используется в низкоуровневом программировании, а также в компьютерной документации. В современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему счисления.

С восьмеричной системой счисления вообще всё интересно. Она использовалась, например, некоторыми американскими индейцами, так как они считали, что нужно считать количество не по количеству пальцев рук, а по количеству промежутков между пальцами².

В Европе в 1716 году король Швеции Карл XII обратился к Эммануилу Сведенборгу с просьбой разработать 64-ричную систему счисления, на что Эммануил Сведенборг заметил, что обычным людям не с таким высоким интеллектом, как у короля, будет сложно разобраться с системой счисления с таким большим основанием и предложил использовать, поэтому, восьмеричную систему счисления¹. Интересно бы узнать, почему Карл XII выбрал именно такое основание.

Также, восьмеричная система счисления иногда используется в компьютерах - по видимому, чаще всего при определении прав в Unix-подобных операционных системах. Когда-то были компьютеры, в которых использовались 24-х и 36-битные слова. В таких компьютерах очень удобно было использовать восьмеричную систему счисления, так как все биты слова могут быть представлены целым количеством восьмеричных цифр и не нужно было всегда дописывать незначащие нулевые биты в начале. Например, для 36-битного слова нужно ровно 12 восьмеричных разрядов.

В нашем курсе дискретной математики мы изучаем восьмеричную систему, так как это одна из систем, в которую можно выполнить непосредственный перевод из двоичной системы счисления, минуя десятичную.

Шестидесятеричная система счисления широко используется при подсчёте минут и секунд. Происхождение шестидесятеричной системы неясно. Возможно, она связана с двенадцатеричной системой счисления (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке). Существует также гипотеза О. Нейгебауэра (1927) о том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел³.

А можно ли добавлять нолики в начале числа в шестнадцатеричной системе счисления?

Все правила для всех позиционных систем счисления - одинаковые. В десятичной системе счисления допускается приписывать незначащие нули в начале, а после десятичной точки - в конце. Точно также, незначащие нули можно дописывать в любой другой позиционной системе счисления.

Какими символами записывать число в 25-ричной системе счисления?

16-ричная система счисления - достаточно распространённая система счисления. Для этой системы счисления существует стандарт - цифры больше 9 записывают буквами латинского алфавита от A до F.

Все прочие позиционные системы счисления с основанием больше 10 не являются распространёнными и для них не существует стандарта на запись. Но, по аналогии, было бы удобно и в этих системах счисления тоже использовать буквы латинского алфавита.

В частности, в 25-ричной системе счисления первые 10 цифр совпадают с цифрами в десятичной системе счисления - от 0 до 9, а оставшиеся 15 - кодируются буквами латинского алфавита от A до O. Те же самые правила касаются и других позиционных систем счисления.

А как быть с системой счисления, для которой не хватит букв латинского алфавита?

Какого-либо универсального стандарта в этой области нет. Кроме случаев более или менее широко используемых систем счисления.

Если Вам приходится действовать с такой системой счисления, то либо придерживайтесь правил, которые придумали другие (если такой системой счисления пользуется ещё кто-нибудь), либо придумайте собственные правила.

На практике пример такой системы счисления с большим основанием - это 60-ричная система счисления для учёта секунд и минут. Мы все знаем, как записывается время. Например, запись “34:17”, означающая «34 минуты 17 секунд» - фактически является записью числа в шестидесятеричной системе счисления с двумя цифрами.

Как правильно читать числа в системах счисления, отличных от десятичной?

В целом, нет стандарта на то, как правильно следует читать такие числа.

Строго говоря, назвать 20₈ словом «двадцать» - не совсем корректно, так как всем известно, «дцать» - означает «десятки», а в восьмеричной системе счисления эта двойка означает не количество десятков, а количество восьмёрок. Вероятно, правильно это число нужно было бы прочитать как «два ноль», но это не является стандартом.

При использовании шестнадцатеричной системы счисления буквы произносятся так, как они обычно прозиносятся в латинском алфавите: «А», «Бэ», «Цэ», «Дэ», «Е», «Эф». Число 1E3.F₁₆ обычно произносят так: «один е три точка эф».

Тем не менее, если в записи числа используются только десятичные цифры, то эти числа часто читаются так, как если бы они были записаны в десятичной системе счисления. Например, “517.5₈” можно произнести как «пятьсот семнадцать целых пять десятых в восьмеричной системе счисления». Вероятно, более точно можно было бы сказать так: «пятсот семнадцать целых пять восьмых в восьмеричной системе счисления», но в таком случае у некоторых может возникнуть ступор в понимании того, как записать «пять восьмых».

Иногда части числа называют по разным правилам. Например, так: «пятсот семнадцать точка пять в восьмеричной системе счисления». Стандарта в этой области пока что, кажется, тоже нет.

Думается, что самое важное в произношении чисел - чтобы остальным было понятно, что Вы имеете в виду.

Как запомнить таблицу соответствия двоичных чисел восьмеричным и шестнадцатеричным?

Запомнить эту таблицу можно только с опытом - много раз к ней обращаться, и через некоторое время Вы будете знать её наизусть.

Но запоминать эту таблицу не требуется! Определить соответствие настолько легко, что я даже не могу быть уверенным в том - помню ли я эту таблицу наизусть или каждый раз вычисляю? Чтобы определить соответствие, нужно знать всего несколько совершенно простых вещей:

• Одной 16-ричной цифре соответствует 4 двоичных цифры, а одной 8-ричной - 3 двоичных цифры. Это легко запомнить, так как 2⁴=16, а 2³=8.

• Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 7 из восьмеричной системы счисления в десятичную и наоборот. Это очень сложная операция, в уме это могут проделать только вундеркинды. Если Вы не вундеркинд, то можете просто запомнить, что 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6, а 7 равно 7.

• Нужно научиться в уме переводить числа от 0 до 15 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Это очень просто, так как цифры от 0 до 9 совпадают, а числам от 10 до 15 соответствуют буквы латинского алфавита от А до F. Можно каждый раз в уме считать (10 - это А, 11 - это В, 12 - это С и т.д.)

• Далее, нужно научиться в уме переводить числа от до 15 из двоичной в десятичную.

• Самое сложное - это научиться в уме переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную. Но это умение само по себе покрывает значительную часть таблицы.

• Теперь Вы можете легко перевести любое число от 0 до 15 из двоичной системы счисления в десятичную, а потом - в шестнадцатеричную или в восьмеричную. А можете и наоборот.

Чтобы переводить числа, нужно уметь делить в столбик. А как быть, если я не умею делить в столбик?

Представленный здесь теоретический материал подразумевает наличие у Вас некоторых умений. Если этих минимальных умений у Вас ещё нет, то, чтобы понять написанное здесь, сначала имеет смысл получить эти простые умения.

Чтобы разобраться со всем представленным здесь теоретическим материалом, Вам потребуется:

• Понимать, что такое число в принципе.

• Уметь сравнивать числа между собой.

• Понимать суть операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень для чисел в десятичной системе счисления.

• Уметь выполнять эти операции сложения, вычитания, умножения и деления на бумаге (в столбик) для чисел в десятичной системе счисления.

Ссылки

1. http://ru.wikipedia.org/Пингала
Пингала — древнеиндийский математик.

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Octal#Usage (на англ. яз.)
The octal numeral system

3. http://ru.wikipedia.org/Шестидесятеричная система счисления
Позиционная система счисления по целочисленному основанию 60.

Последняя модификация: 28.02.09 19:45

Обсуждение статьи в форуме

Не проходите мимо! Оставьте Ваш комментарий в форуме! >>>

Просмотреть все комментарии в режиме форума. Всего комментариев: 1
Не проходите мимо! Оставьте Ваш комментарий в форуме! >>>